Por: @Mateus Pincho
Data de publicação: June 28, 2022
<aside> 📚 Neste resumo você verá:
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Transformação linear nada mais é que função de $V$ em $W$, $f:V \to W$, que satisfaz as condições:
Basicamente, a função tem como domínio um espaço vetorial $V$, ela recebe um vetor $u$ deste espaço vetorial e “transforma” para $W$. Ela move o espaço, deixando as linhas do plano ainda paralelas e igualmente espaçadas, sem alterar a origem.
Exemplo:
$T: R^2\to R^2 \space \text{definada por } T(x,y)=(x-y,x+y)$
$$ T(x_1,y_1)+T(x_2,y_2) = T(x_1+x_2,y_1+y_2) \\ (x_1-y_1,x_1+y_1)+(x_2-y_2,x_2+y_2)=(x_1+x_2-y_1-y_2,x_1+x_2+y_1+y_2)\\ (x_1+x_2-y_1-y_2,x_1+x_2+y_1+y_2)=(x_1+x_2-y_1-y_2,x_1+x_2+y_1+y_2) $$
$$ T(\lambda x,\lambda y) = \lambda T(x-y,x+y) \\ (\lambda x - \lambda y,\lambda x+\lambda y)=\lambda(x-y,x+y) \\ \lambda(x-y,x+y) = \lambda(x-y,x+y) $$
Provamos que a transformação é linear
<aside> 💡 O núcleo é o conjunto de todos os vetores de $V$ que tem como imagem o vetor nulo
Núcleo é um subespaço de $V$!
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Resolvendo um sistema linear homogêneo
$$ N(t)=\begin{cases}(x,y) \in R^2/T(x,y)=(0,0) \\ (x,y) \in R^2/(x-y,x+y)=(0,0) \\ (x,y) \in R^2/(0,0)=(0,0) \end{cases} $$
Basicamente o que fazemos acima é: $\begin{cases}x-y=0\\x+y=0\end{cases}$ e assim determinamos que $x=0$ e $y=0$
<aside> 💡 Imagem é o conjunto formado por todos os vetores de $W$ que são imagens de algum vetor em $V$
Imagem é um subespaço de $W$!
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Encontrando os geradores desse espaço vetorial
$$ Im(t)=\begin{cases}(x,y) \in R^2/ T(x,y)=(x-y,x+y)\\ (x,y) \in R^2 /(x-y,x+y)=(x,x)+(-y,y) \\ (x,y) \in R^2 /(x,x)+(-y,y)= x(1,1)+y(-1,1)\end{cases} \\ Im(t)= \{ (1,1),(-1,1)\} $$