Por: @Mateus Pincho

Data de Publicação: June 21, 2022

Álgebra Linear

<aside> 📚 O que você irá aprender com este resumo:

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O que é um espaço vetorial?

Imagine um grande conjunto de vetores, que possui diversos vetores dentro dele, de diferentes formas e equações. Um espaço vetorial nada mais é que um conjunto de vetores, não vazio e que segue determinadas condições. Por isso, nem todo conjunto de vetores é um espaço vetorial! Para ser considerado um espaço vetorial, o conjunto precisa ter algumas propriedades, são elas:

Propriedades de um espaço vetorial

  1. A soma é associativa: $(u+v)+w=u+(v+w)$
  2. A soma é comutativa: $u+v=v+u$
  3. A soma possui um elemento neutro: $u+0 =u$
  4. Todo vetor possui um inverso aditivo: $-u+u =0$
  5. A multiplicação por escalar é associativa: $(\alpha \beta)v = \alpha(\beta v)$
  6. A multiplicação por escalar é distributiva: $(\alpha + \beta)v = \alpha v+ \beta v$
  7. A multiplicação por escalar é distributiva: $\alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v$
  8. A multiplicação possui um elemento neutro: $1\cdot v=v$

Ou seja, caso um conjunto de vetores não siga essas condições, ele não pode ser considerado espaço vetorial!

O que é um subespaço vetorial?

Agora imagine que dentro desse grande espaço vetorial, existem vários outros pequenos conjuntos que também satisfazem as propriedades do espaço vetorial! Estes conjuntos são os Subespaços vetoriais. Estes pequenos conjuntos de vetores também obedecem a todas as propriedades do Espaço Vetorial, mas para verificar se um conjunto é um subespaço vetorial basta fazer o seguinte.

Como saber se um conjunto é um subespaço vetorial?

$W$ é um subespaço vetorial se, e somente se:

  1. O elemento neutro está incluso em $W$.